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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
\newcommand{\pow}[1]{\!\left[\!\left[#1\right]\!\right]}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Michele Serra, Sarah Tanja Hess \hfill Sommersemester~2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra II \\
		\normalsize Blatt 3 \\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor:} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~6 vorausgesetzt.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	 
	\textbf{Aufgabe 3.1} \hfill 	\textbf{[2+2 Punkte]}
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Erläutern Sie ein Beispiel für einen kommutativen Ring $R$ mit $1$, einem endlich erzeugten $R$-Modul $M$ und einem Untermodul $N$ von $M$ sodass $N$ nicht endlich erzeugt ist.
		\item Erläutern Sie ein Beispiel für einen Hauptidealbereich $R$ und einem torsionsfreien $R$-Modul $M$ sodass $M$ nicht frei ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 
		
	\
	
	\textbf{Aufgabe 3.2} \hfill 	\textbf{[1+1+0,5+1+0,5 Punkte]}
	\\[3pt] Sei $R$ ein Hauptidealbereich, $p$ ein Primelement von $R$, $\nu\in \N$ und $M$ ein nicht-triviales $p^\nu$-Torsionsmodul von $R$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass für $x\in M$ die Periode von $x$ (bis auf Einheit) durch $p^l$ mit $0\leq l\leq \nu$ gegeben ist.
		\item Sei $\nu$ nun insbesondere minimal sodass $M$ ein $p^{\nu}$-Torsionsmodul ist. Beweisen Sie die Existenz eines $x\in M$ mit Periode $p^{\nu}$.
	\end{enumerate}
	Habe von nun an $x\in M$ die Periode $p^\nu$ und sei $\overline{M}:=M/Rx$. 
	\begin{enumerate}[(a)]
		\setcounter{enumi}{2}
		\item Beweisen Sie, dass $\overline{M}$ ein $p^\nu$-Torsionsmodul ist.
		\item Sei $y\in M$ der Periode $p^l$ ein Vertreter von $\overline{y}\in\overline{M}$ mit Periode $p^{\overline{l}}$. Zeigen Sie $\overline{l}\leq l$.
		\item Sei nun $\nu$ insbesondere minimal sodass $M$ ein $p^{\nu}$-Torsionsmodul ist und $\overline{\nu}\in\N$ minimal sodass $\overline{M}$ ein 
		$p^{\overline{\nu}}$-Torsionsmodul ist. Beweisen Sie $\overline{\nu}\leq \nu$.
	\end{enumerate}
	\textbf{Lösung:} 
	
	\
	
	\newpage
	\textbf{Aufgabe 3.3} \hfill 	\textbf{[2+2 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $\varphi\colon V \to V$ eine lineare Abbildung. Betrachten Sie die Verknüpfung
	\begin{eqnarray*} \cdot\colon K[X]\times V &\to& V \\
		\left(f,v\right)\hspace*{0.3cm} &\mapsto& f(\varphi)(v).
	\end{eqnarray*}
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass $V$ mit $\cdot$ ein $K[X]$-Modul ist.
	\end{enumerate}
	
	Sei nun ferner $V$ endlich-dimensional und $\varphi$ injektiv.
	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Zeigen Sie, dass $V$ ein endlich erzeugtes $K[X]$-Torsionsmodul ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 

	\
	
	\textbf{Aufgabe 3.4*} \hfill 	\textbf{[1+2+1 Punkte]}
	\\[3pt]
	Sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K[X]$-Modul.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass $V$ ein $K$-Vektorraum ist.
		\item Beweisen Sie die Existenz einer eindeutigen $K$-linearen Abbildung $\varphi\colon V \to V$ von $K[X]$-Moduln sodass die Skalarmultiplikation $\cdot$ auf $V$ als
		$K[X]$-Modul für alle $f\in K[X]$ und $v\in V$ durch $f(x)\cdot v = f(\varphi)(v)$ gegeben ist.	
		\item Folgern Sie die Existenz einer Bijektion
		$$\phi\colon \{V\mid V\mbox{\ ist\ } K[X]\mbox{-Modul}\} \to \{(V,\varphi)\mid V\mbox{\ ist\ } K\mbox{-Vektorraum}, \varphi\colon V\to V \mbox{\ ist\ } K\mbox{-linear}\}.$$
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 				
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Freitag, den 14.\ Mai 2021, um 10:00 Uhr}, direkt an den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}